Teorema Taylor menyatakan suatu fungsi dalam bentuk jumlah suku-suku tak hingga. Istilah-istilah ini dibatasi dari turunan fungsi yang diberikan untuk titik tertentu. Definisi standar fungsi aljabar disajikan menggunakan persamaan aljabar. Suatu fungsi dapat diilustrasikan dengan baik oleh deret Taylor-nya juga. Deret ini juga dapat digunakan untuk menentukan berbagai fungsi di banyak bidang matematika
Teorema Deret Taylor
Asumsikan bahwa jika f(x) adalah fungsi real atau komposit, yang merupakan fungsi terdiferensiasi dari bilangan tetangga yang juga real atau komposit. Kemudian, deret Taylor menggambarkan deret pangkat berikut:
(f(x) =f(a)frac{f'(a)}{1!}(xa)+frac{f”(a)}{2!}(xa)^{2}+ frac{f^{(3)}(a)}{3!}(xa)^{3}+….)
Dalam hal notasi sigma, deret Taylor dapat ditulis sebagai:
(sum_{n=0}^{infty }frac{f^{n}(a)}{n!}(xa)^{n})
Dimana f (n) (a) = turunan ke- n dari fn!
= faktorial dari n.
Rumus dan Bukti Deret Taylor
Kita tahu bahwa deret pangkat dapat didefinisikan sebagai
(f(x)= sum_{n=0}^{infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+ a_{3}x^{3}+…)
Ketika x = 0, f(x)= a 0 Jadi, bedakan fungsi yang diberikan, menjadi, f'(x) = a 1 + 2a 2 x + 3a 3 x 2 + 4a 4 x 3 +….
Sekali lagi, ketika Anda mensubstitusi x = 0, kita mendapatkan
f'(0) =a 1 Jadi, bedakan lagi, kita dapatkan f”(x) = 2a 2 + 6a 3 x +12a 4 x 2 + …
Sekarang, substitusikan x=0 dalam diferensiasi orde kedua, kita dapatkan f”(0) = 2a 2
Oleh karena itu, [f”(0)/2!] = a 2
Dengan menggeneralisasi persamaan, kita mendapatkan
f n (0) / n! = n
Sekarang substitusikan nilai-nilai dalam deret pangkat yang kita peroleh,
(f(x)= f(0)+f'(0)x+frac{f”(0)}{2!}x^{2}+frac{f”'(0)}{3! }x^{3}+….)
Generalisasi f dalam bentuk yang lebih umum, menjadi
f(x) = b + b 1 (xa) + b 2 ( xa) 2 + b 3 (xa) 3 + ….
Sekarang, x = a, kita dapatkan b n = f n (a) / n!
Sekarang, substitusikan b n dalam bentuk umum
(f(x) =f(a)frac{f'(a)}{1!}(xa)+frac{f”(a)}{2!}(xa)^{2}+ frac{f^{(3)}(a)}{3!}(xa)^{3}+….)
Oleh karena itu terbukti.